Relación de igualdad (Álgebra de conjuntos)

Conjunto

En este sentido, se puede comenzar por decir que el Conjunto es entendido por las Matemáticas como un objeto, conformado por un listado de elementos, en los cuales puede distinguirse al menos un rasgo en común, es decir que pueden ser considerados como propios de una misma naturaleza, de ahí que puedan formar entre ellos una colección abstracta. Así mismo, esta disciplina indica algunos aspectos sobre la notación que debe tener este objeto, y que básicamente se resume en estos tres puntos: en primer lugar, el Conjunto será denominado según el nombre de una letra mayúscula; así mismo, sus elementos se presentarán en forma de listado, siendo separados por una coma, finalmente, para terminar de constituir la notación del conjunto, sus elementos irán encerrados entre dos signos de llaves { }.

Características del conjunto

De igual manera, puede ser conveniente revisar algunas de las principales características que las Matemáticas han señalado respecto a los conjuntos, y que pueden resumirse en los siguientes:

• El Conjunto está conformado por sus elementos, quienes además lo definen de una forma única y exclusiva.
• Los elementos del conjunto deberán presentarse siempre como un listado.
• Al responder a un criterio de agrupación, todo objeto que quiera ser parte del conjunto deberá cumplir con este rasgo, por lo que el Conjunto no corre riesgo de cambiar en la medida en que va creciendo.

Relación de Igualdad entre Conjuntos

Con el concepto de Conjunto presente, será entonces mucho más fácil aproximarse a la noción de Igualdad entre Conjuntos, la cual puede ser entendida como una relación entre conjuntos, en donde dos o más de estas colecciones reciben la categoría de iguales, si entre ellos pueden encontrarse, independientemente de la disposición u orden, los mismos objetos, sin que exista uno solo diferente. Por igual, la Teoría de Conjuntos indica que esta relación será denotada por el signo igual (=) el cual será usado entre dos o más conjuntos sólo cuando estos coincidan en el total de sus elementos, por el contrario si un solo elemento llega a ser distintos, o ninguno coincide, los conjuntos no podrán considerarse iguales, así que entre ellos se colocará el signo de diferente (≠).

Ejemplo de Igualdad entre Conjuntos

No obstante, quizás la mejor forma de explicar este tipo de relación entre conjuntos sea a través de la exposición de un ejemplo, que permita ver en la práctica lo que dice la teoría sobre la Igualdad entre Conjuntos. A continuación, algunos de ellos:

Dado un conjunto A, en donde pueden contarse los instrumentos musicales que comienzan por la letra “v”: A= {Violín, Viola, Violonchello, Violín eléctrico} y un conjunto B, conformado por instrumentos musicales de cuerda: B= {Violín, Viola, Violonchello, Violín eléctrico} indicar si entre ellos se puede establecer una relación de igualdad:

Para esto, se deberá colocar cada uno de los conjuntos, uno sobre el otro, a fin de poder comparar los distintos elementos que tiene cada uno de ellos:

A= {Violín, Viola, Violonchello, Violín eléctrico}
B= {Violín, Viola, Violonchello, Violín eléctrico}

Al hacerlo, se puede ver cómo estos dos conjuntos coinciden de manera plena entre ellos, por lo que pueden considerarse conjuntos iguales, por lo que entonces: A=B.

Dado un conjunto A, constituido por nombres femeninos que comiencen por la letra “n”: A= {Nuria, Nereida, Noelia, Natividad, Nidia, Nahir} y un conjunto B, en donde se encuentren incluidos nombres femeninos que terminen en la letra “a”: B= {Nuria, Nereida, Noelia, Patricia, Nidia, Paola} determinar si se trata de conjuntos iguales:

A fin de cumplir con lo que dicta este postulado será necesario entonces comparar los elementos de cada uno de los conjuntos, con el propósito de determinar si realmente coinciden entre sí:

A= {Nuria, Nereida, Noelia, Natividad, Nidia, Nahir}
B= {Nuria, Nereida, Noelia, Patricia, Nidia, Paola}

Al hacerlo se puede ver cómo existen algunos elementos que se presentan en un conjunto, pero en otro no, razón suficiente para considerar que estos conjuntos no son iguales entre sí, sino que por el contrario pueden considerarse diferentes, por lo que en este caso: A ≠ B

Dado un conjunto A, conformado por animales cuadrúpedos: A= {Perro, Vaca, Gato, Lobo, Tigre, Perro, Gato, Toro} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos animales mamíferos: B= {Vaca, Tigre, Perro, Vaca, Gato, Toro} determinar si entre ellos puede identificarse una relación de igualdad.

La mejor forma de iniciar con este ejercicio, a fin de dar cumplimiento a lo solicitado en el postulado, será colocar los conjuntos uno sobre otro, para poder hacer así una comparación de cada uno de sus elementos:

A= {Perro, Vaca, Gato, Lobo, Tigre, Perro, Gato, Toro}
B= {Vaca, Tigre, Perro, Vaca, Gato, Toro}

Revisando estos elementos se puede ver cómo algunos se repiten más de una vez en el mismo conjunto. Sin embargo, si se suprimen estas repeticiones y se toma en cuenta cada elemento una sola vez, se puede concluir entonces que en efecto ambos conjuntos cuentan con los mismos elementos, por lo que entonces sí se puede hablar de una relación de igualdad entre ellos, por ende A=B.

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