Representación en el plano cartesiano de las Relaciones binarias

Seguramente sea de provecho, previo a las explicaciones relacionadas con el procedimiento de representar una relación binaria en el plano cartesiano, reparar en ciertas definiciones, necesarias para entender cada uno de estos ejercicios en su contexto adecuado.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, será preciso entonces abordar algunos conceptos como el de Conjuntos, Relaciones Binarias, así también como las definiciones de Dominio y Rango, pues estas se encuentran estrechamente relacionadas con la naturaleza y demás procedimientos necesario para lograr plasmar en un plano cartesiano las relaciones binarias. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

En cuanto al concepto de Conjunto, las Matemáticas lo han explicado como un objeto matemático, conformado por una colección abstracta de elementos pertenecientes a una misma naturaleza, es decir, una agrupación de elementos entre los cuales se puede distinguir al menos un rasgo en común, de ahí que sean pensados o concebidos como grupo. Así mismo, las Matemáticas han señalado que son los elementos de un conjunto los únicos con la capacidad –y además propiedad- de definir y conformar la colección a la cual pertenecen.

Relaciones algebraica binarias

Por su parte, este tipo de Relaciones algebraicas serán entendidas como todo tipo de relación existente entre los elementos de un conjunto primero, y los elementos de un conjunto segundo, lo cual dará como resultado una serie de pares ordenados, que a su vez pueden ser interpretados como subconjuntos del producto cartesiano de los conjuntos a los cuales pertenecen: A R B → R ⊂ A x B.

Dominio y Rango, Relaciones algebraicas

De esta forma, las Matemáticas también indicarán que el Dominio es un subconjunto del primer conjunto de una relación, conformado por todos los elementos de esta colección que establecen relación con los elementos del conjunto segundo. Así mismo, el Dominio estará conformado por todos los primeros elementos de los pares ordenados de las relaciones binarias determinadas entre los conjuntos. Respecto al Rango, este a su vez estará conformado por todos los elementos del conjunto segundo que mantienen relación con los elementos del Domino. De igual forma, el Rango estará constituido por todos los segundos elementos de los pares ordenados que se puedan pestablecer dentro de las relaciones binarias de dos conjuntos.

lano cartesiano, relaciones algebraicas

Teniendo presente estas definiciones, quizás sea mucho más fácil aproximarse a los procedimientos indispensables para lograr la representación de las relaciones binarias de dos conjuntos, en un plano cartesiano. No obstante, puede que todavía sea necesario precisar que un Plano cartesiano será un gráfico, constituido por dos rectas numéricas perpendiculares –una horizontal y otra vertical- que se cortan en un punto, estableciendo en dicho encuentro el punto de origen del sistema. Así mismo, se considera que la recta numérica horizontal corresponde al eje de las abscisas, el cual es representado casi siempre por la letra X, mientras que el eje vertical corresponderá a las ordenadas, siendo representado por la letra Y. Casi siempre se destina el punto de origen al número 0. En cuanto al proceso de representar en un plano cartesiano las relaciones algebraicas binarias entre dos conjuntos, algunas fuentes indican que éste es definido como la acción de ubicar en un plano cartesiano cada uno de los elementos del dominio y del rango, según el lugar que les correspondan en cada una de las rectas numéricas que conforman este gráfico.

Pasos para representar en el plano cartesiano relaciones binarias

Así mismo, este procedimiento matemático puede ser explicado a través de una serie de pasos, los cuales van orientados a establecer cuál es la información que será indicada en el plano cartesiano, y que pueden ser enumerados de la siguiente manera:

1.- En primer lugar, deberá revisarse cuáles son las relaciones planteadas entre ambos conjuntos.

2.- Hecho esto, se deberán expresar cada una de estas relaciones binarias en forma de pares ordenados.

3.- Seguidamente, se establecerá el Dominio de las relaciones binarias, pues estos elementos deberán ser ubicadas en el eje x del plano cartesiano.

4.- Igualmente, se deberá precisar el Rango de los pares ordenados, pues esto originará los elementos que deberán ser ubicados en el eje y del gráfico.

5.- Se dibujará entonces el Plano Cartesiano. En el eje x se dibujarán cada uno de los elementos correspondientes al conjunto primero, hayan establecido o no algún tipo de relación con el conjunto segundo. Por su parte, el eje y contará con cada uno de los elementos del conjunto segundo, tengan estos relación o no con algún elemento del conjunto primero.

6.- Se ubicarán entonces los puntos correspondientes tanto al Dominio como al Rango, en cada uno de los ejes a los que correspondan.

7.- Se trazarán líneas imaginarias que busquen el punto en donde estos dos valores coincidan, señalándose con un punto.

Ejemplo de representación de relaciones binarias en el plano cartesiano

No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar este tipo de representaciones sea a través de la exposición de un ejemplo, que permita ver en forma práctica los procedimientos y pasos relacionados con la ejecución de este ejercicio, tal como se ve a continuación:

Dadas las siguientes relaciones binarias, representarlas en un plano cartesiano

A fin de dar cumplimiento a lo solicitado en este postulado, será necesario comenzar por establecer los pares ordenados, que se generan dentro de las relaciones binarias establecida entre estos dos conjuntos:

R= {(2,1); (6,3); (8,7)}

Hecho esto, se deberá proceder entonces a precisar cuál es el Dominio y cuál es el Rango:

dom(R): {2, 6, 8}
rang(R): {1, 3, 7}

El siguiente paso será dibujar el plano cartesiano, según los elementos de cada uno de los conjuntos, se hayan relacionado o no entre ellos. Así mismo, se anotarán las líneas imaginarias correspondientes a cada par ordenado, así como el punto en donde ellas se encuentran:

Imágenes: 1.- wikipedia.org / 2 y 3.- educacion.elpensante.com

Representación en el plano cartesiano de las Relaciones binarias
septiembre 6, 2017

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