Representación gráfica cuando x asume distintos valores en la función

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, se decidirá también delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Conjuntos, Correspondencia, Función, Variables de la Función, Eje de coordenadas,  Representación de las variables de la función en el eje de coordenadas, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento matemático que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Los conjuntos

De esta forma, los Conjuntos serán explicados por la disciplina matemática como un objeto que se conforma a base de la reunión de una serie de elementos, que se distinguen por contar con la misma naturaleza, de ahí que algunos autores hayan señalado que los Conjuntos pueden ser entendidos igualmente como una colección abstracta de elementos homogéneos.

Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que los elementos que conforman el conjunto cuenta con la capacidad de determinar y definir la colección de una manera precisa y exclusiva. Respecto a la forma de expresar este tipo de objetos, las Matemáticas han señalado que los Conjuntos serán denominados siempre con una letra mayúscula, mientras que los elementos serán mostrados como una enumeración, separados por comas y contenidos siempre entre signos de llaves: { }

La correspondencia

Por otro lado, también será necesario revisar el concepto de Correspondencia, la cual ha sido explicada como la relación matemática que existe entre dos conjuntos, toda vez que uno, algunos o todos los elementos de uno de ellos encuentren en el otro, según un criterio específico, uno o algunos que le correspondan. Un ejemplo de este tipo de relación matemática será el siguiente:

En la Correspondencia, también se distinguen tres distintas colecciones, las cuales pueden ser descritas de la siguiente manera:

• Conjunto inicial: conocido igualmente como conjunto de inicio, se caracteriza por ser la colección de la cual parte la relación de correspondencia, así como las flechas que son utilizadas para señalarla. Por su parte, los elementos que la constituyen son conocidos como antiimagen, mientras que tienen la responsabilidad de ejercer como primer elemento del par de correspondencia del cual participan.
• Conjunto de llegada: denominado de igual manera como Conjunto de partida, puede ser explicado como la colección en la cual desemboca la relación de correspondencia, al igual que las flechas que son usadas para señalarla. En cuanto a sus elementos, aquellos que participan de la relación son denominados como imagen, y ejercerán como segundo elemento en el par de correspondencia.
• Grafo: por último, en toda Correspondencia se podrá hablar también del Grafo, considerado como el conjunto o colección que se genera en base a los distintos pares de correspondencia que se crean, y que contiene en ellos.

Función

En tercer lugar, se traerá a capítulo el concepto de Función, la cual ha sido explicada como toda relación de Correspondencia que existe siempre que los elementos del conjunto inicial, que participan en la relación, cuenten en el conjunto de llegada con una sola imagen. En este sentido, se infiere igualmente que toda Aplicación es una Función, y viceversa. A continuación, un ejemplo de este tipo de relación:

Variables de la función

Así mismo, las Matemáticas han señalado que en la Función puede hablarse de dos tipos distintos de variables, cada una de las cuales han sido explicadas de la siguiente forma:

• Variable independiente: en primer lugar, se encontrará la variable independiente, denominada como x, y cuyo valor no depende de ninguna otra variable, sino que puede ser decidida. Su función es participar en la ecuación de la función, a fin de determinar la variable y.
• Variable dependiente: por otro lado, en la Función también se encontrará la Variable dependiente, denominada como variable y. El valor de esta depende totalmente del valor de x, así como de la ecuación de la función, es decir, de la serie de operaciones que deben desarrollarse en base al criterio de correspondencia por medio del cual los dos conjuntos participantes se han relacionado.

Eje de coordenadas

Por su parte, también será propicio revisar la definición de Eje de coordenadas, el cual ha sido explicado como un sistema binario, conformado por dos rectas perpendiculares, que ejercen como ejes y guías. El eje de coordenadas puede ser empleado con el fin de ubicar un punto en el espacio, dirección que será dada por las coordenadas, las cuales se expresan como un par ordenado o par de correspondencia (x, y).

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, en el Eje de coordenadas pueden distinguirse tres distintos elementos:

• Eje de las abciscas: también conocido como el eje x, se caracteriza por ser el eje horizontal, mientras que su misión es servir de guía a la hora de ubicar el valor expresado por la variable x.
• Eje de las ordenadas: por su parte, este eje se dispone de forma vertical, recibiendo también el nombre de eje y. Su misión es servir de eje o guía para ubicar la coordenada señalada por la variable y.
• Punto de origen: es el punto en donde las dos rectas perpendiculares se cortan. Su dirección puede ser expresada de la siguiente forma: (0, 0).

Es necesario señalar que el eje de coordenadas cuenta con cuatro cuadrantes, en los cuales se pueden ubicar tanto variables positivas como negativas, por lo que los pares de correspondencia pueden estar conformados por números de ambas naturalezas, pues estos tendrán su lugar en este sistema de coordenadas.

Representación gráfica de las variables de la función

Por último, será necesario señalar que los distintos pares de correspondencia que surgen durante la función pueden ser expresados gráficamente, en el eje de coordenadas. Para esto, será necesario seguir los pasos que se señalan a continuación:

1. Se determina cuál es el valor de la variable x.
2. Se determina cuál es la ecuación de la función, según el criterio de correspondencia bajo el cual se ha establecido la Función.
3. Se calcula entonces el valor de la variable y.
4. Se expresa el par de correspondencia determinado. Este podrá ser utilizado para ubicar las coordenadas en el eje.
5. Se toma la variable x y se ubica en el eje de las abcisas.
6. Se toma la variable y, para ubicarla en el eje de las ordenadas.
7. Se ubica el punto en donde ambas direcciones coinciden, y se marca en el eje de coordenadas.

Representación gráfica cuando la variable independiente tiene varios valores

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre cómo debe realizarse la representación gráfica cuando x asume distintos valores. En este sentido, las Matemáticas han señalado que se deberán seguir los pasos que se enumeran seguidamente.

1. Conocer la ecuación de la función.
2. 2.Resolver la ecuación para cada valor que se le asigne a x.
3. Cada uno de los resultados, así como el valor que x tenía al momento de originarlo, deberán anotarse en una tabla de datos.
4. Con cada uno de los pares de correspondencia encontrados se deberá ubicar un punto en el eje de coordenadas.
5. Se deben unir los distintos puntos que han logrado establecerse en este sistema bidimensional. Esto se hará por medio de una línea, que por lo general revela la función que existe entre las variables que sirven de coordenadas.

Ejemplo de cómo graficar la función cuando x asume distintos valores

No obstante, puede que la mejor manera de completar una explicación sobre este procedimiento sea a través de la explicación de un ejemplo concreto, el cual permita entonces  ver cómo debe cumplirse en la práctica cada uno de estos pasos, tal como puede verse a continuación:

Suponiendo que se tiene la ecuación y = 2x + 1, graficar los siguientes pares de correspondencia que surgen cuando la variable x asume distintos valores.

Lo primero que se hará para dar cumplimiento a este planteamiento será realizar distintas operaciones, en donde x tiene distintos valores, a fin de ir conformando los pares de correspondencia respectivos:

x = -2
y = 2 . -2 + 1
y = -4 +1 → y = -3
(-2, -3)

x = -1
y = 2 . -1 + 1
y = -2 +1 → y = -1
(-1, -1)

x = 0
y = 2. 0 + 1
y = 0 + 1 → y = 1
(0, 1)

x = 1
y = 2 .1 + 1
y = 2 + 1 → y = 3
(1, 3)

x = 2
y= 2. 2 + 1
y = 4 + 1 → y = 5
(2, 5)

Obtenidos estos resultados, también será conveniente proceder a expresarlos en una tabla de variables, pues esto ayudará a ver las diferentes coordenadas de forma mucho más práctica:

Con esta información, se irá al eje de coordenadas, con el fin de ubicar cada uno de los puntos correspondiente a cada par de correspondencia. Finalmente, estos puntos se relacionarán entre sí, con una línea, que revela una figura, que resulta relacionada directamente a la ecuación de función que se ha resuelto para cada valor de x:

Hecho esto, se considera totalmente resuelto el ejercicio. En ocasiones, dada una Función no será necesario resolver la ecuación de la función para cada valor de x, sino simplemente anotar los pares de correspondencia que se encuentran expresados en la relación, los cuales fungirán entonces como las coordenadas a ubicar en el eje de coordenadas.

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