Resolución de las ecuaciones incompletas cuando el término independiente es nulo

Uno de los principales tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas correspondientes a la forma ax2 + bx = 0, las cuales ocurren cuando el término independiente es igual a cero. Sin embargo, antes de abordar la forma correcta en que deben ser resueltas este tipo de ecuaciones, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta operación matemática, en su justo contexto.

Definiciones fundamentales

En este sentido, también será necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Término algebraico, Igualdades, Ecuaciones, Ecuaciones de segundo grado y Ecuaciones de segundo grado incompletas, por encontrarse directamente relacionadas con la operación, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Término algebraico

Por consiguiente, podrá comenzarse a decir que las Matemáticas han definido el Término algebraico como la expresión conformada por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una operación de multiplicación, siendo este procedimiento el único aceptado entre estos elementos, es decir, que entre ellos no podrá ocurrir jamás una operación de suma, resta o división. Un ejemplo de este tipo de expresiones matemáticas puede ser el siguiente:

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Así mismo, la disciplina matemática ha señalado que el Término algebraico se encontrará conformado por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales ha sido descrito de la siguiente forma:

  • Signo: en primer lugar, en una lectura de izquierda a derecha, se encontrará el signo, cuya misión será entonces indicar cuál es la naturaleza del término algebraico, o en otras palabras, señalar si este es positivo o negativo. No obstante, es importante señalar que tradicionalmente cuando el término algebraico es positivo, entonces se opta por no colocar el signo más (+) delante del término, sino que se da por sobreentendido. Por el contrario, si el término algebraico es negativo, entonces se debe colocar obligatoriamente el signo menos (-) delatante de la expresión.
  • Coeficiente: seguidamente se encontrará entonces el Coeficiente del término algebraico, el cual se encontrará conformado entonces por un elemento abstracto numérico, cuya misión será señalar el valor o cantidad por la que deberá multiplicarse el literal, toda vez que asuma un valor en específico.
  • Literal: así también, si se sigue esta lectura de izquierda a derecha se encontrará el literal, el cual se encontrará compuesto por el elemento abstracto literal, es decir, por una letra, que tomará valores distintos, en momentos determinados. Por tradición, para señalar el Literal de un término algebraico se usan las letras a, b y c. No obstante, si el término algebraico resultara ser una incógnita, entonces se usarán preferiblemente los literales x, y o z.
  • Grado: finalmente, también será necesario tener en cuenta el concepto de Grado, el cual será entendido como uno de los cuatro elementos que constituyen el Término algebraico. De forma mucho más precisa, el Grado será entendido como el elemento conformado por el valor del exponente al cual se encuentra elevado el elemento literal del término. Si una expresión de esta tipo contara con varios literales, entonces se entenderá que el Grado lo dicta el máximo valor del coeficiente al que se encuentren elevados estos elementos.

Igualdades

En segunda instancia, se tomará igualmente un momento para pasar revista sobre el concepto de Igualdades, las cuales han sido descritas como las relaciones matemáticas, que tienen lugar cuando dos distintos elementos o términos coinciden por completo con respecto a sus valores totales, o en otras palabras, cuando resultan iguales.

Así también, las Matemáticas han señalado que las Igualdades se expresan a través del signo igual (=). Por otro lado, esta disciplina también indica que en las igualdades se encuentran conformadas por dos diferentes términos:

  • Primer término: constituido por el elemento o grupo de elementos, que se disponen de forma anterior al signo igual.
  • Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad estará conformada por todos los elementos que se ubiquen de forma posterior al signo, que sirve para expresar esta relación.

Además, la disciplina matemática concibe también dos diferentes tipos de igualdades, las cuales opta por definir de la siguiente manera:

  • Igualdad numérica: en primer lugar, se encontrarán la Igualdad numérica, la cual se caracteriza por encontrarse completamente constituida por elementos abstractos numéricos.
  • Igualdad literal: así también, dentro de los distintos tipos de Igualdades, se encontrará la Igualdad literal, la cual se caracteriza por encontrarse completamente conformada por elementos numéricos y además literales. Dentro de este tipo de igualdades se encuentran las Identidades y las Ecuaciones.

Ecuaciones

En otro orden de ideas, será también conveniente revisar el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas entonces como uno de los tipos de igualdades literales, que existen, y en donde se cumple la condición de que el término literal constituye una incógnita, que cuenta tan solo con la posibilidad de asumir un valor en específico, para que la igualdad original se cumpla. Un ejemplo de ecuaciones serían las siguientes:

x + 5 = 9

Al enfrentar esta igualdad literal, se puede optar por sustituir a x por distintos valores, a fin de comprobar si se cumple o no la igualdad planteada:

3 + 5 = 9 → 8 ≠ 9
2 + 5 = 9 → 7 ≠ 9
8 + 5 = 9 → 13 ≠ 9
4 + 5 = 9 → 9 = 9

Al hacerlo, se comprueba efectivamente que la igualdad planteada se cumple tan solo cuando x asume el valor de 4. Por ende, siendo una igualdad literal que solo se cumple cuando x tiene un valor preciso, entonces se entiende que se está delante de una Ecuación. Si por el contrario la igualdad se cumpliera independientemente del término de x, entonces la igualdad literal sería una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

El próximo concepto al cual se le tomará en cuenta será el de Ecuaciones de segundo grado, las cuales han sido explicadas como aquellas igualdades literales, en donde el elemento literal, aparte de ser una incógnita y contar con tan solo un valor posible, se encuentra elevado al cuadrado. En caso de que una ecuación de este tipo cuente con varios literales, si es de segundo grado, el exponente de mayor valor observado en los literales será el 2. Un ejemplo de cómo luce una ecuación de segundo grado, que ha sido simplificada, será el siguiente:

ax2 + bx + c = 0

Igualmente, las Matemáticas señalan que las Ecuaciones de segundo grado se encuentran conformadas tanto por elementos como por términos. A continuación, una breve descripción de cada uno de ellos:

  • Elementos: en este grupo podrán encontrarse a su vez dos diferentes subtipos: por un lado, se encontrarán los elementos a, b y c, los cuales constituirán los coeficientes, y se encontrarán conformados por elementos abstractos numéricos; por otra parte, en las Ecuaciones de segundo grado también se encontrará la x, la cual constituye el literal de la ecuación, así como la incógnita que debe ser despejada.
  • Términos: así también, en la Ecuación de segundo grado se encontrarán los términos, los cuales pueden ser contados en tres distintos términos:
  • ax2 → conocido como el término cuadrático, responsable de señalar cuál es el grado de la ecuación.
  • bx → término lineal
  • c → término independiente, conocido así debido a que no cuenta con ningún literal, es decir, que lo constituye tan solo un elemento abstracto numérico.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Por último, también se pasará revista sobre la definición de Ecuaciones de segundo grado incompletas. En este punto es importante señalar que de acuerdo a las Matemáticas en toda Ecuación de segundo grado, el término cuadrático ax2 siempre contará con un coeficiente distinto a cero, pues de lo contrario, el término sería anulado, dando paso a una ecuación de primer grado, de forma bx + c = 0.

Sin embargo, el término cuadrático es el único en el que el coeficiente tiene prohibido ser igual a cero, es decir, que tanto el término lineal como el independiente podrían contar con este valor en sus coeficientes, dando lugar a la anulación de alguno o ambos términos, lo cual originaría que la Ecuación de segundo grado resultara incompleta. A continuación, algunos casos que pueden presentarse al respecto:

  • ax2 + c = 0 → el primer caso de Ecuación de segundo grado incompleta podrá ser esta, la cual ocurre cuando el término lineal bx cuenta con un coeficiente igual a cero, lo cual da paso que se anule este término.
  • ax2 + bx = 0 → también puede ocurrir que el término independiente esté conformado por el cero, lo cual dará como resultado la anulación del término, así como este caso de Ecuación de segundo grado.
  • ax2 = 0 → finalmente, otro de los casos de Ecuaciones de segundo grado incompleto, que existen será aquella en donde el término lineal y el término independiente son iguales a cero, lo cual dará como resultado este tipo de ecuación.

Resolución de las ecuaciones incompletas de la forma ax2 + bx = 0

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la forma correcta en que deben resolverse las Ecuaciones de segundo grado incompletas, que cuenten con la forma ax2 +bx = 0, es decir, aquellas ecuaciones de segundo grado en donde el término independiente a resultado igual a cero, por lo que se ha anulado, dando lugar a este tipo de ecuación de segundo grado incompleta.

Al respecto, las Matemáticas han señalado que este tipo de ecuaciones cuentan con dos posibles soluciones, las cuales pueden ser las siguientes:

Así mismo, las distintas fuentes han señalado que este tipo de Ecuaciones de segundo grado incompletas, deberá resolverse a través de los siguientes pasos:

1.- Dada entonces la ecuación de segundo grado incompleta, de forma ax2 + bx = 0, se comenzará por aplicar la propiedad del factor común en el primer término de la igualdad, obteniendo entonces lo siguiente:

ax2 + bx = 0 →  x(ax + b) = 0

2.- Logrando esta expresión, se puede dilucidar que la única razón por la cual esta operación pudiera dar como resultado cero (0) es si x es igual a cero, bien sea en el término x, o en el término ax + b. Por lo tanto, pueden existir entonces dos distintas soluciones:

Imagen: pixabay.com

Resolución de las ecuaciones incompletas cuando el término independiente es nulo
enero 30, 2019

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