Resolución de problemas de repartos directamente proporcionales

Definiciones fundamentales

De esta manera, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: Razones, Proporciones, Fracciones, Magnitudes directamente proporcionales y Repartos directamente proporcionales, por encontrarse relacionados con los procedimientos que se abordarán más adelante. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido las Razones, de forma general, como un tipo de expresión matemática, cuya función es dar cuenta del cociente que existe entre dos números, es decir, de cuántas veces se encuentra contenido el Divisor dentro del Dividendo.

Estas expresiones se encontrarán conformadas por el Antecedente, elemento este que hará las veces del Dividendo, y el Consecuente, al que le corresponderá entonces la función de Divisor. A continuación, algunos ejemplos que pueden darse en relación a las Razones:

Proporciones

Así mismo, será necesario detenerse un momento en el concepto de Proporciones, las cuales son entendidas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Un ejemplo de proporción entre razones será la siguiente:

Pese a que cuentan con distintos valores, en sus respectivos antecedentes y consecuentes, en realidad estas razones se pueden considerar iguales, o proporcionales, por constituirse como expresiones del mismo cociente. Es decir, si ambas razones se resolvieran, darían como resultado un cociente igual a 2.

Sin embargo, este no es el único método por el cual se puede saber si dos razones son o no son iguales, ya que existirá también el método de los extremos y los medios, el cual consiste básicamente en multiplicar entre sí los extremos de dos razones (constituidos por el antecedente de la primera razón y el consecuente del último) así como los medios de estas (conformados a su vez por el consecuente de la primera razón y el antecedente de la última). En ambos casos, si las razones son iguales, el producto debe ser el mismo:

Esta ley de la proporcionalidad es bastante útil si se quisiera despejar o conocer algunos de los elementos de las razones proporcionales que de repente no se conociera. Para esto, habría entonces que multiplicar dos elementos conocidos, tanto si corresponden a los extremos como a los medios, y dividirlos después entre el único elemento de algunos de los dos ámbitos que se ha dado, por ejemplo:

Fracciones

Así mismo, será necesario tomar también un momento para lanzar luces sobre el concepto de Fracciones, las cuales han sido igualmente explicadas como una tipo de expresión matemática, la cual señala cuántas partes se han tomado de una unidad, que ha sido dividida a su vez en partes iguales. Por igual, las fuentes matemáticas señalan que las Fracciones se encontrarán constituidas por dos elementos:

• El numerador, que señala cuántas partes se han tomado de la unidad.
• El denominador, cuya función es mostrar en cuántas partes iguales se encuentra dividida la unidad.

En este punto, será también necesario advertir sobre la necesidad de no confundir las Fracciones con las Razones, salvo que si bien pueden tener apariencias similares, en realidad son expresiones que refieren a cosas distintas. Por ende, mientras las razones expresan un cociente entre dos números, las Fracciones señalan cuántas partes se han tomado de una unidad dividida en partes iguales.

Otra diferencia esencial entre ambas sería que mientras las fracciones deben tener sus elementos –numerador y denominador- siempre conformadas por números enteros, las razones pueden contar con números decimales en su antecedente y su consecuente. A continuación, algunos ejemplos de fracciones:

Magnitudes directamente proporcionales

Por otro lado, bien puede servir de provecho traer a capítulo la definición de Magnitudes directamente proporcionales. No obstante, antes de avanzar en este concepto, quizás también sea recomendable revisar primero la definición que dan las Matemáticas sobre las Magnitudes, las cuales han sido explicadas entonces como aquellos conjuntos de elementos, que cuentan con la propiedad de poder ser sumados, comparados u ordenados.

En cuanto a las Magnitudes directamente proporcionales, estas serán concebidas como todo conjunto de magnitudes, en donde se vea como propiedad que cuando una de ellas es multiplicada por un número, las otras que conforman conjunto con ella también deben multiplicarse por este factor.

Empero, puede que la mejor manera de entender este concepto matemático, sea a través de un ejemplo concreto, tal como se muestra a continuación:

Si en una tienda de telas ofrecen 1 metro de terciopelo por 5 euros, ¿en cuántos euros se podrán adquirir en esta tienda 3 metros de esta tela?

Una vez planteado el ejercicio, será necesario establecer cuál es la información que se tiene:

1 m de tela → cuesta 5 euros
3 metros de tela → x cuánto cuesta

Es importante recordar, según lo que señalan las Matemáticas, que un problema de magnitudes directamente proporcionales, siempre plantea una Regla de tres simple directa, así como un problema de proporcionalidad. Por ende, esta incógnita deberá despejarse de la siguiente forma:

Se tendrá entonces las siguientes magnitudes directamente proporcionales:

1 m de tela → cuesta 5 euros
3 m de tela → cuestan 15 euros.

Al ser magnitudes directamente proporcionales, este ejercicio también pudo haberse resuelto multiplicando cada uno de los factores dados por el número 3, que era la incógnita  a resolver.

Repartos directamente proporcionales

En último lugar, será importante también tener en cuenta el concepto de Repartos directamente proporcionales, los cuales pueden ser entendidos como aquellos procedimientos matemáticos, cuyo propósito es determinar qué porcentaje o parte le toca a cada elemento de un conjunto de magnitudes o elementos directamente proporcionales.

Los casos más comunes de este tipo de procedimientos se encuentran relacionados por ejemplo con cuánta paga se debe dar a cada miembro de un equipo de trabajo según su producción, o cuánto dinero debe aportar cada individuo según sus comprar, entre otros usos que se les puede dar en la vida cotidiana.

Problemas de repartos directamente proporcionales

Una vez se han analizado cada uno de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a cada uno de los dos posibles métodos por los cuales se puede dar solución a un problema de repartos directamente proporcionales.

Calculando el valor de la unidad

El primer método que se puede poner en práctica cuando se desea determinar cómo debe hacerse un reparto directamente proporcional es a través del método de reducción a la unidad, pues esto permitirá entonces calcular cuáles son los valores o cantidades que le corresponden a otras de las magnitudes directamente proporcionales.

Sin embargo, tal vez la mejor manera de abordar este método sea a través de un ejemplo concreto, que permita ver entonces cómo debe ser el procedimiento a seguir, tal como se muestra a continuación:

Si en una sastrería trabajan los sastres Mario, Juan y Diego, y los tres se han encargado de confeccionar seis trajes para caballero, valorados en un total de 600 euros, ¿cuál es la paga que les corresponde a cada uno de ellos, según su trabajo, si Mario confeccionó 2 trajes, Juan 3 de ellos y Diego finalmente 1 solo?

Siendo entonces el Método de reducción a la unidad el que se ha escogido, lo primero que se hará es revisar la información que se tiene, y luego reducir el costo a la unidad:

Mario → 2 trajes
Juan → 3 trajes
Diego → 1

Si los trajes en total valieron 600 euros, y son en total 6 de ellos, se tiene entonces lo siguiente:

Se tiene entonces que cada traje tiene un valor de 100 euros. De primera mano, entonces a Diego, el sastre que confeccionó un solo traje, le corresponde entonces el valor de 100 euros. Por su parte, a la hora de querer saber cuánto le corresponde a cada uno de los otros sastres, simplemente se deberá multiplicar el valor de cada traje por el número total de artículos que fabricaron:

Mario → 100 x 2 = 200 euros
Juan → 100 x 3 = 300 euros
Diego → 1 = 100 euros

Utilizando la regla de tres

No obstante, el método de reducción a la unidad no es el único que puede establecerse, sino que también hay que recordar que las magnitudes directamente proporcionales pueden constituir igualmente proporciones, que se resuelven por regla de tres simple directa.

Empero puede que lo mejor sea también enfocarse en un ejemplo concreto. Si se tuviera el mismo ejercicio, pero si se quisiera resolverlo por este método, entonces la relación o razón que se tiene en cuanto al precio que se pagó por el total de trajes y el número total de ellos, podría establecer proporciones con cada una de las razones que se establecen según la paga y los artículos fabricados por cada sastre, teniendo entonces qué despegar en cada caso el total del pago, tal como se verá a continuación:

Razón del total de trajes y pago:

Proporción pago Mario:

Proporción pago Juan:

Proporción pago Diego:

Con este método, se obtiene entonces el siguiente reparto proporcional:

Mario → 100 x 2 = 200 euros
Juan → 100 x 3 = 300 euros
Diego → 1 = 100 euros

Encontrándose, que coincide plenamente con el obtenido con el método de reducción a la unidad, por lo que entonces ambos procedimientos pueden ser usados indistintamente para dar solución a cualquier problema de Repartos directamente proporcionales.

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