Resta de un monomio y un polinomio

Es probable, que previo a abordar el caso de resta que puede darse entre un monomio y un polinomio, sea necesario traer a colación ciertas definiciones, que surgen como imprescindibles a la hora de entender la naturaleza de las expresiones algebraicas involucradas en esta operación.

Definiciones fundamentales

En este sentido, resulta conveniente entonces revisar las definiciones de monomios, así también como la de polinomios, los elementos y tipos de cada una de estas expresiones, e incluso lo que dicta el Álgebra elemental sobre la Resta de monomios. A continuación, una breve explicación de cada uno de estos conceptos:

Monomio

De esta forma, la primera definición que se tendrá en cuenta es la de Monomio, concebido por el Álgebra como una expresión algebraica elemental, la cual puede considerarse constituida por la combinación de elemento abstracto numérico (un número) y un elemento abstracto no numérico (una letra) en la cual debe cumplirse dos condiciones sine qua nom: que entre ellas solo sea posible la operación de multiplicación, quedando exentas las otras (suma, resta o división); y en segundo lugar que sus literales cuenten con exponentes que sean siempre números enteros y positivos.  Así mismo, esta disciplina matemática señala que en esta expresión pueden distinguirse también cuatro elementos:

  • Signo: acompaña al elemento numérico, a fin de indicar su naturaleza.
  • Coeficiente: es el nombre que recibe el elemento numérico del monomio, señala la cantidad por la que debe ser multiplicada la variable en caso de asumir un valor numérico.
  • Literal: por su parte, el literal estará constituido por una letra, la cual se encuentra en representación de una cantidad desconocida.
  • Grado: este elemento está conformado por el exponente al cual se encuentra elevada la variable.

Polinomio

Por su parte, el Álgebra elemental también lanza luces sobre la definición de polinomio, el cual es entendido como una suma finita de monomios y términos independientes, entre los que solamente pueden establecerse operaciones de suma (en su gran mayoría) así también como resta o multiplicación, siendo totalmente exceptuada la posibilidad de emplear la división entre ellos. Igualmente, las distintas fuentes teóricas señalan que dentro del polinomio se pueden contar cuatro elementos fundamentales:

  • Términos: es el nombre que reciben cada uno de los sumandos que conforman la expresión algebraica, bien si se trata de monomios o de términos independientes.
  • Coeficientes: así mismo, los coeficientes del polinomio estarán constituidos por cada uno de los elementos numéricos de los monomios.
  • Términos independientes: por su parte, el Álgebra elemental define como términos independientes a aquellos elementos numéricos que no se encuentran acompañados de ninguna letra o variable.
  • Grado: finalmente, el grado del polinomio estará determinado por el exponente de mayor valor. Será así mismo el elemento guía a la hora de establecer un orden dentro del polinomio.

Monomios semejantes

Igualmente se hace imprescindible revisar la definición de Monomios semejantes, los cuales son vistos a su vez como aquellas expresiones algebraicas de tipo monomio entre las que existe total coincidencia en cuanto sus literales, es decir, que ambos monomios cuentan cada uno con iguales variables y exponentes. La principal diferencia con los monomios iguales será que las expresiones arropadas por esta categoría coinciden en cada uno de sus elementos, mientras que en los semejantes solo existe coincidencia entre sus literales. Así mismo, los monomios no semejantes serán aquellos en donde no exista coincidencia alguna entre sus coeficientes, literales o grados.

Resta de monomios

Finalmente, se debe traer a capítulo la definición de que da esta disciplina matemática sobre la Resta de monomios operación que es concebida como la sustracción que ocurre entre dos monomios, siempre y cuando estos términos puedan ser considerados monomios semejantes. De esta forma, en la resta de monomios, uno de ellos asume el rol de minuendo, mientras que el otro cumplirá el papel de sustraendo, restándose entre ellos, a fin de obtener una diferencia en cuanto a sus coeficientes. El resultado final será anotado con el literal común a los monomios que se han restado.

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Resta de un monomio y un polinomio

Sin embargo, existen casos en donde un monomio participa de restas que no incluyen precisamente a otro monomio, bien sea semejante o no semejante, como por ejemplo cuando se plantea una resta de un polinomio (suma finita de monomios y términos independientes) y un monomio (producto de números y letras elevadas a exponentes positivos y enteros). En esta circunstancia, las distintas fuentes indican que sólo es posible la resta, si el monomio que sirve de sustraendo encuentra un monomio semejante en algunos de los términos del polinomio que funge como minuendo. En consecuencia, se realizará la resta de sus respectivos coeficientes, mientras que el resultado de la operación será un polinomio que incluya el resultado de la operación.

Ejemplos de resta de un monomio y un polinomio

No obstante, la mejor forma de explicar este tipo de operación será a través de ejemplos concretos en donde se pueda ver la puesta en práctica de lo que indica la teoría con respecto a este tipo de operación. A continuación, algunos de ellos:

Resolver la siguiente operación: (3x2 – 4xyz + 2x3y2 – 5) – 6xyz=

Lo primero que deberá hacerse, en pro de buscar una solución a esta operación, será revisar cada una de las expresiones involucradas, a fin de comprobar que en efecto se trata de la resta entre un polinomio y un monomio. Comprobado esto, se deberá entonces revisar los elementos literales de cada uno de los términos, a fin de poder identificar si el polinomio cuenta con alguno que pueda ser considerado semejante al monomio que cumple la función de sustraendo. En este caso, se puede ver que existen dos términos semejantes: por el polinomio el término – 4xyz, y el monomio – 6xyz. Por lo tanto, la resta se desarrollará en base a estos dos términos, tomando en cuenta en todo momento sus signos:

(3x2 – 4xyz + 2x3y2 – 5) – 6xyz=

3x2 + (– 4xyz– 6xyz) + 2x3y2 – 5 =

3x2 + (– 10xyz) + 2x3y2 – 5 =

3x2 – 10xyz + 2x3y2 – 5

Resultado final: (3x2 – 4xyz + 2x3y2 – 5) – 6xyz= 3x2 – 10xyz + 2x3y2 – 5

 

Resolver la siguiente operación (5x + x4 – 3) – 3x4=

Una vez revisado que en efecto se trata de un polinomio y un monomio entre los cuales se establece una resta, y que entre ellos existe al menos dos términos semejantes, se debe proceder entonces a plantear la operación, a fin de resolverla tomando cuenta en todo momento los signos de cada uno de sus términos:

(5x + x4 – 3) – 3x4=

5x + (x4– 3x4) – 3 =

En este caso, se debe recordar que cuando un término no cuenta con un coeficiente claramente expresado, se asume que éste es equivalente a la unidad, por lo que entre estos monomios semejantes se establece la siguiente operación, según sus coeficientes:

1-3= -2

Por consiguiente, esta operación se podrá resolver de la siguiente manera:

5x + (x4– 3x4) – 3 =

5x + (– 2x4) – 3 =

5x – 2x4 – 3

Resultado: (5x + x4 – 3) – 3x4= 5x – 2x4 – 3

 

Resolver la siguiente operación (4x3 – 5xy + 9) – 2y3=

Al revisar los términos de cada una de las expresiones, no se puede encontrar coincidencia alguna entre ellos, es decir que entre el polinomio y el monomio no existen términos que coincidan en cuanto a sus literales. En consecuencia, no es posible desarrollar ninguna operación de resta, por lo que solamente se deberá expresar. De tal manera que el resultado sea la misma operación planteada, la cual permanecerá sin solución hasta que la variable asuma un valor numérico.

Resultado: (4x3 – 5xy + 9) – 2y3=

 

Otros ejemplos de resta entre un polinomio y un monomio pueden ser los siguientes:

(2x – x3 – 5) – x=  (2x – x) – x3 – 5=   x – x3 – 5

(4xy + 2x2y3 – 10z3 – 5) – 2z3=  4xy + 2x2y3+ (– 10z3– 2z3) – 5 =   4xy + 2x2y3– 8z3 – 5

(3x – 9) – 2x=  (3x– 2x) – 9 =  (3x– 2x) – 9 =  x-9

(2ab2 – 3b3 – 5) – 9b3 =   2ab2+ (– 3b3 – 9b3)– 5 =  2ab2 – 9b3 – 5

(8x – 6x2 – 3) – 7x=   (8x– 7x) – 6x2 – 3 =  x – 6x2 – 3

Imagen: pixabay.com

Resta de un monomio y un polinomio
junio 12, 2017