Teorema de la altura

Matemáticas

Quizás lo más conveniente, previo a abordar una explicación sobre el Teorema de la altura, sea revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender de forma más contextualizada esta fórmula geométrica.

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también resulte conveniente delimitar esta revisión teórica a seis nociones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Geometría, pues esto permitirá entender la naturaleza de la disciplina en la cual ha nacido el Teorema de la altura. Por otro lado, también será necesario reparar en los conceptos de Polígonos, Triángulos, Triángulos rectángulos, Altura del triángulo y Descomposición de un triángulo rectángulo en dos. A continuación, cada una de estas definiciones:

Geometría

De esta forma, se comenzará por decir que la Geometría puede ser descrita como una de las principales disciplinas matemáticas, cuyo principal objeto de estudio serán los objetos y las figuras, así como cada una de sus propiedades (volumen, área, longitud, etc.). Así también, algunos autores  han señalado que la Geometría puede ser explicada como la ciencia de las medidas, concepto que quizás se origina en su propia Historia.

En relación con esto, algunos autores se inclinan por pensar que el origen histórico de la Geometría pueda ubicarse en una remota época prehistórica. De esta manera, así como el concepto de Número naturales puede haberse generado de la noción de cantidad, manejada por los hombres primitivos, en su intento por contabilizar sus recursos, la Geometría pudo nacer del intento de estos humanos por entender, medir, manejar, modificar o replicar las distintas formas de su entorno, con el propósito de hacerse con espacios y armas más eficientes, las cuales le permitieran tener mucho más posibilidades de sobrevivencia.

Polígonos

En segunda instancia, también será de provecho lanzar luces sobre la definición de Polígonos, los cuales son explicados por parte de la Geometría comoun tipo de figura plana o bidimensional, es decir, que cuenta tan solo con dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda verse la tercera dimensión de la profundidad.

Por igual, la Geometría señala que los Polígonos deben considerarse igualmente como figuras completamente cerradas, pues estas se encontrarán totalmente delimitadas por un conjunto de segmentos de recta, los cuales le dan al Polígono otro de sus rasgos más distintivos: el ser una figura geométrica totalmente conformada por lados rectos. De hecho, si existiese una figura en donde se pudieran contar solo dos dimensiones, y además fuese completamente cerrada, pero tuviese tan solo uno de sus lados curvos, entonces la figura no podrá tenerse como un polígono.

Así mismo, esta disciplina señala que los Polígonos contarán con cuatro elementos, cada uno de los cuales podrán ser definidos de la siguiente manera:

  • Lados: constituidos por segmentos de recta, serán los responsables de delimitar y conformar al propio polígono. Incluso, es el número de lados del polígono los que determinan el nombre de cada una de las figuras geométricas.
  • Vértices: siendo entonces una figura cerrada, los lados de los polígonos se encontrarán entre sí en puntos determinados, creando una confluencia. Estos puntos se denominarán vértices.
  • Ángulos: empero, al encontrarse, los lados de los polígonos no solo crean el vértice, sino que comienzan a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se denominará ángulo, caracterizándose por contar con tres elementos: dos lados, conformados por los segmentos de recta que lo delimitan; un vértice, que coincidirá por completo con el vértice del polígono; y una amplitud, que será medida en grados sexagesimales. En los polígonos existirán tantos ángulos como vértices existan.
  • Diagonales: finalmente, los polígonos contarán también con diagonales, las cuales podrán ser definidas como segmentos de recta, que se extienden entre dos vértices, elementos que deben presentar la característica de no encontrarse dispuestos de forma contigua.

Triángulos

Con respecto a los Triángulos, la Geometría ha indicado que estos pueden ser entendidos como un polígono, es decir, como una figura geométrica plana y cerrada, la cual se encuentra delimitada por tres segmentos de recta. Ergo, el Triángulo es un polígono de tres lados rectos. Además, esta figura geométrica se distinguirá por tener cuatro distintos elementos:

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  • Tres lados: en primer lugar, los Triángulos tendrán tres lados, que los constituyen y delimitas. La diferencia o semejanza de las longitudes entres estos tres lados son usadas como un rasgo clasificatorio, ordenando los triángulos entonces entre Triángulo isósceles, Triángulo equilátero y Triángulo escaleno.
  • Tres vértices: así mismo, siendo una figura cerrada, los lados del polígono se unen entre sí, creando puntos en común, los cuales son denominados vértices. En el caso de los triángulos, existirán entonces tres vértices.
  • Tres ángulos: igualmente, por cada vértice que exista en el triángulo habrá un ángulo. Por consiguiente, en el triángulo existirán tres ángulos, cada uno de los cuales contarán con tres elementos: dos lados, constituidos por los segmentos de recta que los delimitan; un vértice, el cual coincide plenamente con el vértice del triángulo; y una amplitud, medida en grados sexagesimales. Así como la similitud o diferencia entre los lados del triángulo da paso a una clasificación, las distintas medidas de los ángulos del triángulo también permite a la Geometría clasificar entre Triángulos acutángulos, Triángulos rectángulos y Triángulos obtusángulos.
  • Sin diagonales: por igual, los triángulos se distinguirán por no contar con diagonales, puesto que para que un polígono cuente con este tipo de segmento de recta deberá tener al menos dos vértices no contiguos, situación imposible en los triángulos, en donde todos los vértices son contiguos.

Triángulo rectángulo

Con respecto a la definición de Triángulo rectángulo, la Geometría ha señalado que esta figura puede ser definido entonces como un polígono, es decir, una figura plana y cerrada, delimitada por tres lados, en donde además de tres vértices y ninguna diagonal, pueden encontrarse un ángulo recto, es decir que posea una amplitud de noventa grados (90º).

Altura del triángulo

También será necesario reparar en la definición de Altura del triángulo, la cual es vista como una de las rectas notables de los Triángulos, y que puede darse tanto en rectas como en segmentos. Por consiguiente, cuando la altura se da en rectas, esta puede ser explicada entonces como cada una de las rectas que nacen de los vértices de un triángulo y se extienden hasta cortarse de forma perpendicular con los lados opuestos al vértice del cual nacen, o la prolongación de estos lados. Como las rectas son infinitas, cuando fungen como la altura de un triángulo, entonces en algún punto de su extensión, luego de haber cortado sus respectivos lados, se encontrarán en un punto en común, conocido como el ortocentro.

En cambio, si las alturas de un triángulo son trazadas como segmentos, estos han de ser explicados como segmentos de recta, que nacen desde cada uno de los vértices del triángulo hasta cortar de forma perpendicular el lado opuesto al vértices del cual nace, quedando así comprendido entre el vértice y el lado que toca. Este tipo de altura, es decir, la altura del triángulo en segmento es la medida que se toma en cuenta a la hora de calcular el área de este tipo de figuras geométricas.

Descomposición de un triángulo rectángulo en dos

Por último, antes de explicar el Teorema de la altura, puede que sea conveniente aproximarse de igual forma al procedimiento denominado Descomposición de un triángulo rectángulo en dos, el cual básicamente puede ser explicado como la operación o mecanismo geométrico que se emplea toda vez que en un determinado triángulo rectángulo, se traza una altura, logrando entonces producir tres triángulos semejantes y dos triángulos rectángulos diferentes.

Sin embargo, en cuanto al Teorema de la altura, lo que más interesa de la Descomposición de un triángulo rectángulo en dos es la nomenclatura que recibe cada uno de sus catetos, lados e hipotenusa, pues esta será usada posteriormente para ejercer como los distintos elementos entre los que se sostiene la fórmula de este teorema. En consecuencia, viendo el siguiente triángulo rectángulo, descompuesto en estos dos triángulos, se tendrá entonces que estas figuras geométricas cuentan con los siguientes elementos:

  • En consecuencia, se verá cómo el lado BC del triángulo ABC conforma la Hipotenusa, pudiendo ser llamado también como a. Por ende a = BC.
  • Seguidamente, el lado AC del triángulo ABC es identificado como un Cateto, asumiendo entonces también el nombre de b. Por lo tanto b=AC.
  • También, el lado AB del triángulo ABC es tenido como un Cateto, al tiempo que es denominado como c. De esta forma c=AB.
  • Así mismo, la altura que se ha trazado en este triángulo, para dividir esta figura en dos, además de ser relativa a la hipotenusa es denominada h, pero está conformada por el segmento AD. En consecuencia h=AD
  • También, la Geometría señala que en este triángulo rectángulo descompuesto en dos existe la proyección del cateto b sobre la hipotenusa, el cual es señalado con la letra bˈ.
  • Por último, el cateto c también se proyectará sobre la hipotenusa del triángulo, denominándose como cˈ.

Teorema de la altura

Una vez se han revisado cada una de estas cuestiones, quizás ciertamente es mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Teorema de la altura, la cual puede ser considerada como la cuestión que afirma que en un triángulo rectángulo que ha sido descompuesto en dos, debido a la altura, este segmento resulta proporcionar a cada uno de los segmentos en que esta misma altura al insertarse de forma perpendicular en la hipotenusa la divide.

Esta cuestión puede darse básicamente por la semejanza que existe entre los triángulos en los que se ha descompuesto el triángulo rectángulo, puesto que entonces los lados homólogos de cada una de estas figuras resultan semejantes, al tiempo que la altura resulta proporcional a las proyecciones de ellos sobre la hipotenusa, situación geométrica que puede ser resumida en el Teorema de la altura, el cual contarán con la siguiente fórmula:

h2 = bˈ . cˈ

Imágenes: 1.- pixabay.com / 2, 3 y 4.- wikipedia.org

Teorema de la altura


Bibliografía

El pensante (julio 31, 2018). Teorema de la altura. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/teorema-de-la-altura/