Teorema del cateto

Quizás lo más recomendable, antes de abordar una explicación sobre el Teorema del cateto, sea revisar de forma previa algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta fórmula matemática dentro de su contexto matemático preciso.

Definiciones fundamentales

Al respecto, puede que también sea recomendable delimitar esta explicación a seis nociones específicas: la primera de ellas, la noción misma de Geometría, pues esto permitirá entender la naturaleza de la disciplina en la cual ha surgido este teorema. Por igual, será necesario revisar los conceptos de Polígonos, Triángulos, Triángulos rectángulos, Hipotenusa y Catetos, por encontrarse totalmente relacionados con esta fórmula geométrica. A continuación, cada una de estas cuestiones:

Geometría

En consecuencia, se comenzará por decir que la Geometría ha sido explicada como una de las principales disciplinas matemáticas, la cual tiene como objeto de estudio las diferentes formas y figuras, así como cada una de sus propiedades (volumen, longitud, área, etc.). Así mismo, existen autores que señalan que la Geometría puede ser vista igualmente como la Ciencia de las medidas.

De igual forma, existen fuentes matemáticas que han señalado que la Geometría puede ser considerada también como una de las disciplinas matemáticas más antiguas. Quienes así afirman, señalan que así como la noción actual de Números naturales pudo haber evolucionado directamente de la idea de cantidad, manejada por los hombres primitivos, en su afán por contabilizar y administrar sus distintos recursos, de igual forma, la Geometría pudo haber evolucionado directamente de los intentos de estos primeros hombres por entender, medir, manipular y replicar las distintas formas, con el fin de generar herramientas y hábitats cada vez más eficientes, elementos directamente relacionados como mayores posibilidades de sobrevivencia y calidad de vida.

Polígonos

En segunda instancia, también será de provecho revisar de forma breve el concepto de Polígonos, los cuales han de ser vistos entonces como aquellas figuras geométricas planas o bidimensionales, es decir, que solo cuentan con dos dimensiones: alto y ancho, sin que en ellas pueda verse la dimensión de la profundidad.

Por otro lado, los Polígonos son descritos igualmente como una figura geométrica totalmente cerrada, la cual se encuentra delimitada por completo por un conjunto de segmentos de recta, elementos que le darán al Polígono otra de sus características: la de contar con lados totalmente rectos.

Así mismo, los Polígonos se caracterizarán por contar o estar conformados por cuatro elementos, cada uno de los cuales puede ser descrito de la siguiente manera:

  • Lados: en primer lugar, se encontrarán los lados, los cuales además de constituir y delimitar al polígono, son los que determinan su nombre, puesto que los polígonos serán denominados según el número de lados que posean.
  • Vértices: al ser una figura geométrica cerrada, los lados del polígono se encuentran en puntos determinados, sitios de confluencia que se conocen entonces por el nombre de Vértices.
  • Ángulos: sin embargo, cuando dos lados se unen no solo se crea un vértice, sino que estos segmentos de recta comienzan a delimitar un espacio geométrico, que se conoce con el nombre de ángulo, y que posee a su vez tres elementos: dos lados, conformados por los segmentos de recta que lo delimitan; un vértice, el cual coincide de forma plena con el del polígono; y finalmente una amplitud, que es medida en grados sexagesimales.
  • Diagonales: así también, dentro de los polígonos se pueden distinguir las Diagonales, descritas como aquellos segmentos de recta, que se disponen entre dos vértices del polígono, que deben cumplir con el requisito de no presentarse de forma contigua.

Triángulos

Por su lado, los Triángulos son entendidos como polígonos, es decir, figuras geométricas planas y cerradas, las cuales se encuentran totalmente delimitadas por tres segmentos de recta. Ergo, los triángulos son polígonos de tres lados. Así también, la Geometría ha señalado que estas figuras contarán con cuatro elementos:

  • Tres lados: en cuanto a los lados del triángulo, estos se encontrarán constituidos entonces por tres segmentos de recta. En el caso de los triángulos, la similitud o diferencia entre sus lados es considerado un factor clasificatorio, que ordena los triángulos en Escalenos, Isósceles o Equiláteros.
  • Tres vértices: siendo entonces un polígono, los triángulos serán figuras cerradas, por lo que sus lados se encontrarán en determinados puntos en común, confluencias que serán denominadas vértices. Todos los triángulos cuentan con tres vértices.
  • Tres ángulos: así mismo, los triángulos poseerán también tres ángulos, uno por cada vértice. Las distintas amplitudes de estos espacios geométricos serán usados igualmente para clasificar los triángulos en Rectángulos, Obtusángulos y Acutángulos.
  • Sin diagonales: por último, los Triángulos serán polígonos en donde no se encuentren diagonales, lo cual sucederá básicamente porque los vértices de esta figura geométrica no se encuentran dispuestos de forma contigua.

Triángulo rectángulo

Así mismo, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Triángulo rectángulo, el cual será entendido entonces como un polígono de tres lados, es decir, como una figura geométrica plana y cerrada, delimitada por tres segmentos de recta, y en donde se puede encontrar un ángulo rectángulo, o en otras palabras, cuya amplitud sea equivalente a noventa grados (90º). Al igual que todos los triángulos, los triángulos rectángulos tendrán también tres vértices, y no presentarán ninguna diagonal.

Hipotenusa

Entre otro de los conceptos que será de gran importancia revisar se encuentra la Hipotenusa, la cual es entendida de forma general por la Geometría como el lado del triángulo rectángulo, que resulta opuesto al ángulo recto. Por consiguiente, solo se podrá hablar de hipotenusa, cuando se esté frente a uno de estos triángulos.

Catetos

Por su lado, los Catetos del triángulo también serán un concepto propio de los triángulos rectángulos, siendo expresados como aquellos lados o segmentos de recta, cuya misión, además de conformar el propio triángulo, es delimitar el ángulo de noventa grados, o ángulo recto, que hace que esta figura pueda ser clasificada como un triángulo rectángulo, y que además resulta opuesto a la hipotenusa del triángulo.

Teorema del cateto

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre el Teorema del cateto. Sin embargo, puede que todavía, antes de abordar este procedimiento matemático, sea necesario traer a capítulo la forma correcta en que debe descomponerse un triángulo rectángulo en dos, así como los distintos elementos que de él se generan.

En este orden de ideas, se recordará entonces que para que un triángulo rectángulo se descomponga en dos, será simplemente necesario trazar una altura (segmento de recta que se extiende desde un vértice hasta el lado contrario al que toca de forma perpendicular) desde el vértice del ángulo recto –denominado en este caso el A, por ejemplo- hasta el lado opuesto, lo cual hará que se generen a su vez dos triángulos rectángulos, cada uno de los cuales tendrán sus propios catetos e hipotenusas, además de las que ya tiene el triángulo que se descompone por medio de la altura que se traza en él.

El siguiente paso, será designar sus distintos elementos a través de rectas, tal como se verá a continuación:

  • Por ejemplo, la hipotenusa del triángulo ABC será el lado BC, el cual también se podrá denominar como a. Por lo tanto, a=BC.
  • En consecuencia, los lados que delimitan el ángulo rectángulo del triángulo ABC, pasarán también a ser considerados sus respectivos catetos, por lo que entonces podrán denominarse también por una sola letra: De esta manera el lado AC puede ser b (b=AC) y el lado AB puede ser c (c=AB).
  • Así mismo, la altura que se ha trazado en el triángulo desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto también constituye un segmento de recta, el cual puede ser denominado con las letras AD. En consecuencia, la altura se puede denominar tanto como h, como con el nombre del segmento. Por lo tanto, se tendrá que h=AD.
  • De igual forma, en uno de los triángulos rectángulos en los que se ha descompuesto el triángulo ABC, y que podrá denominarse como ADC, la hipotenusa es bautizada con la letra b, por lo que el cateto opuesto, puede ser considerado también la proyección de esta hipotenusa, por lo que se denominará con la letra bˈ.
  • Por su lado, en el triángulo rectángulo ADB, también creado a partir del triángulo ABC, existirá una hipotenusa, denominada c, la cual se proyectará en su cateto opuesto, que en este caso puede denominarse por ejemplo como cˈ.

Fijada esta nomenclatura en base al triángulo rectángulo, será ciertamente mucho más sencillo de entender el Teorema del cateto, el cual habla de la relación que existe entre la hipotenusa del triángulo rectángulo y su respectiva proyección, la cual según este teorema es proporcional, es decir, en un Triángulo rectángulo cada uno de los lados que delimitan al ángulo rectángulo tienen una medida proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ella. Esta fórmula puede expresarse de la siguiente manera:

Para el cateto b, el Teorema del cateto respondería a la siguiente fórmula: b2 = a . bˈ. Es decir que el cuadrado del cateto resulta igual al producto de la hipotenusa por su proyección.

Para el cateto c, este teorema se encontraría expresado así: c2 = a . cˈ

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Teorema del cateto