Teoría de conjuntos

Tal vez, antes de entrar a definir y tratar los aspectos relacionados a la Teoría de Conjuntos, sea pertinente revisar de forma breve la definición que las Matemáticas tienen sobre el Conjunto, a fin de poder entender la naturaleza del objeto de estudio de esta rama de las Matemáticas.

Definición de Conjunto

De esta manera, se puede comenzar por decir que el Conjunto –de acuerdo a las distintas fuentes teóricas, es visto como un objeto matemático, compuesto por una agrupación de elementos, entre los cuales se puede identificar un rasgo en común, de ahí que puedan ser entendidos como una colección abstracta de elementos de igual naturaleza. Así mismo, las Matemáticas han señalado como una de las principales características del Conjunto el estar en todo momento, y de forma única y exclusiva, conformado y definido por sus elementos. Con respecto a su notación, esta disciplina también indica que debe hacerse bajo tres directrices básicas: en primer lugar, el Conjunto siempre tendrá por nombre una letra del alfabeto, en mayúscula; así mismo, sus elementos serán presentados en forma de listado o numeración, separados por comas y contenidos por signos de llaves { }.

Teoría de conjuntos

Por su parte, la Teoría de conjuntos, desarrollada a partir de la segunda mitad del siglo XX, gracias a los trabajos de Georg Cantor, puede ser definida como una rama de las Matemáticas, cuyo propósito principal es estudiar las diferentes propiedades, relaciones y operaciones que pueden establecerse entre los distintos tipos de conjuntos, objetos matemáticos, concebidos por esta disciplina como una herramienta primordial del lenguaje matemático, así como la base sobre la cual se puede entrar a formular cualquier teoría, ya que cuenta con los objetos y conocimientos necesarios para constituir a las demás estructuras u objetos, desde números hasta nociones de la Lógica, es decir, que en algunos casos, se cree incluso que la Teoría de Conjuntos, en específico, la conocida como la Teoría de Zermelo-Fraenkel, llamada conjunto de axiomas, cuenta con la capacidad de desarrollar todo el conocimiento matemático. De esta forma, la Teoría de conjuntos se convierte entonces en indispensable para entender los cimientos de las Matemáticas, e incluso de la Lógica.

Áreas de estudio de la Teoría de Conjuntos

A pesar de que la Teoría de Conjuntos es una disciplina bastante compleja y extensa, en términos básicos se puede decir que ésta se encarga del estudio de dos principales asuntos de los conjuntos, los cuales pueden dividirse de la siguiente manera:

Relaciones entre elementos y conjuntos

En primer lugar, la Teoría de Conjuntos buscará estudiar las distintas relaciones que se dan entre elementos y conjuntos, así también como entre conjuntos y conjuntos. De ellas, se pueden identificar tres específicas:

Propiedad interna de la suma en los números enteros Quizás lo más conveniente, antes de avanzar sobre la Propiedad interna presente en la Suma de Número...
Cómo determinar el Grado relativo de un Término algebraico Quizás lo mejor, antes de exponer la forma indicada de determinar el Grado relativo de un término al...
La circunferencia Quizás lo mejor, previo a abordar una explicación sobre la Circunferencia, sea revisar de forma brev...
  • Pertenencia: esta relación se da entre elementos y conjuntos. Indica si un elemento forma parte o está contenido dentro de un conjunto. Por ejemplo, si se tiene un conjunto A, constituido por letras: A= {a, b, c, d, e} se puede decir entonces que cualquiera de los elementos dentro de las llaves pertenece al conjunto A, para esto se usa el signo de Pertenencia anotándose entonces que a ∈ A.
  • Igualdad: una segunda relación, establecida entre conjuntos, es aquella que surge cuando dos colecciones coinciden de forma absoluta en cuanto a sus elementos, sin importar que estos posean igual orden. Un ejemplo de ello lo puede constituir un conjunto A, compuesto por números: A= {1, 2, 3, 4, 5} y un conjunto B, en donde se cuenten como elementos los números del 1 al 5: B= {1, 2, 3, 4, 5}. Al comparar ambos conjuntos, se tiene que son iguales, por lo que A = B.
  • Inclusión: por último, la Teoría de Conjuntos también distingue una relación entre conjuntos, en donde se resalta la cualidad de un conjunto de estar contenido de forma absoluta en otro, es decir, que es un subconjunto del conjunto. Por ejemplo, si se tiene un conjunto A, conformado por frutas: A= {Naranja, Pomelo, Mandarina, Manzana, Limón, Guayaba} y un conjunto B, en donde se puedan contar como elementos frutas cítricas: B= {Naranja, Pomelo, Mandarina, Limón} al comparar ambos conjuntos se puede ver cómo todos los elementos del conjunto B se encuentran contenidos en el conjunto A, por lo que se puede decir entonces de B es un subconjunto de A: B ⊆ A

Álgebra de conjuntos

Igualmente, la Teoría de Conjuntos cuenta con un área denominada Álgebra de conjuntos, cuyo propósito se centra en el estudio de las diferentes operaciones que pueden establecerse entre conjuntos, y de las cuales se distinguen seis principales operaciones, que pueden ser definidas a su vez de la siguiente manera:

  • Unión: es la operación que sucede entre dos conjuntos, a fin de constituir un tercer conjunto en donde pueden contarse como elementos la totalidad de los elementos de las colecciones que participan en la Unión. Esta operación se expresa a través del signo ∪, de la siguiente manera: A∪B.
  • Intersección: por su parte, la Intersección será la operación que ocurra entre dos conjuntos, formando un tercer conjunto en donde existan como elementos, sólo aquellos que resulten comunes a los conjuntos en base a los cuales se ha realizado la operación. La Intersección de conjuntos se expresa con el signo ∩ de la siguiente forma: A ∩ B=
  • Diferencia: así mismo, dentro del Álgebra de conjuntos se distingue la operación de Diferencia, la cual ocurre igualmente entre dos conjuntos, a fin de formar un tercer conjunto en donde se encuentren todos los elementos de la primera colección, que no existen en la segunda. La forma de expresar matemáticamente esta operación será: A\B=
  • Complemento: en cuanto al Complemento del Conjunto, éste puede definirse como el conjunto que se forma con todos los elementos que no se encuentran en un conjunto, teniendo como referencia el Conjunto Universal. Este Conjunto se denomina de forma A.
  • Diferencia simétrica: dentro del Álgebra de conjuntos también se puede hablar de la Diferencia Simétrica, definida como una operación entre dos conjuntos, la cual da como resultado un tercer conjunto en donde existen como elementos todos aquellos que estando en el primer conjunto no están en el segundo, así como todos aquellos elementos que existiendo en el segundo conjunto no aparecen en el primero de ellos. La expresión matemática de esta operación es A ∆ B.
  • Producto cartesiano: finalmente, se puede hablar del Producto cartesiano, como una operación de multiplicación que ocurre entre dos conjuntos, dando como resultado un conjunto conformado por todos los pares ordenados posibles, obtenidos en base al producto de cada uno de los elementos del primer conjunto por los elementos de la segunda colección. Esta operación puede ser expresada de la siguiente forma: A x B= (a, b).

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Teoría de conjuntos
julio 19, 2017