Tipos de conjuntos

Quizás lo mejor, previo a abordar cada uno de los Tipos de conjuntos que han sido definidos por la Teorías de Conjuntos, sea conveniente revisar la propia definición de Conjunto, a fin de poder entender estas colecciones dentro de su contexto teórico preciso.


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Definición de Conjunto

Por consiguiente, se puede comenzar por decir que el Conjunto es concebido por las Matemáticas como una agrupación de elementos entre los cuales distinguen al menos un elemento en común, hecho que los lleva a identificar a su vez como pertenecientes a una misma naturaleza y como una colección abstracta. Así mismo, las distintas fuentes matemáticas coinciden en señalar que el Conjunto se distingue por contar con la característica principal de estar conformado y definido, de forma única y exclusiva, por sus elementos. En cuanto a su expresión, esta disciplina asegura que el Conjunto debe ser expresado entre signos de llaves { } mientras sus elementos serán expuestos como una numeración, es decir, en forma sucesiva y separados por un signo de coma.

Tipos de Conjuntos

A pesar de que entonces el Conjunto en sí es definido como una colección abstracta de elementos, la Teoría de Conjuntos se ha dado a la tarea de clasificar cuáles son los tipos de conjuntos que existen, puesto que estos variarán según las características y naturaleza de elementos que los conforman. Entre los distintos tipos de conjuntos reconocidos por esta disciplina matemática, se encuentran los siguientes:

Conjunto finito

El primer tipo de conjunto que puede encontrarse en esta clasificación es el Conjunto finito, el cual es definido como la colección que cuenta con un número de elementos conocido, es decir, que su Cardinalidad (número de elementos que tiene un conjunto) es un número natural y conocido, por lo que sus elementos pueden ser contabilizados. Un ejemplo de este tipo de Conjunto podría ser por ejemplo, un Conjunto conformado por las vocales: A= {A, E, I, O,  U} puesto que su Cardinalidad es igual a cinco: │A│= 5. Casi siempre los Conjuntos finitos son aquellos compuestos por entidades materiales.

Conjuntos infinitos

Por otra parte, la Teoría de Conjuntos señala también la existencia de Conjuntos infinitos, los cuales están conformados por un número de elementos desconocido. Por ende, la Cardinalidad de este tipo de conjuntos no es correspondiente a un número natural, ni entero ni conocido. Aun cuando algunas entidades materiales pueden encontrarse dentro de esta clasificación, como por ejemplo los granos de arena en el mar, la mayoría de los conjuntos infinitos corresponden a conjuntos numéricos, como por ejemplo el Conjunto de los números naturales: N, o el Conjunto de los números enteros: Z.

Conjunto unitario

Entre aquellos conjuntos que se clasifican según el número de sus elementos, se encuentra también el Conjunto unitario, el cual es definido como la colección que cuenta con un solo elemento, es decir, aquella cuya Cardinalidad es igual a 1. Algunos ejemplos de este tipo de conjuntos son los siguientes: A= {1};  B= {3}; C= {Manzana}; D= {Círculo}.

Conjunto vacío

Igualmente, dentro de los diferentes Tipos de conjuntos –aun cuando también es entendido dentro de los conocidos como Conjuntos especiales- se encuentra el Conjunto vacío, el cual es definido a su vez como aquella colección que no posee ningún elemento, es decir, que como su nombre lo indica está vacío. Por lo general este tipo de conjunto cumple, en algunas operaciones del Álgebra de Conjuntos, el papel de elemento neutro. Es expresado a través del signo ∅ aunque hay corriente que también proponen el uso de dos llaves entre las cuales no exista ningún elemento: { }. No obstante, la mayoría de los autores se inclinan por usar el primer signo.

Conjunto Universal

También incluido dentro de los Conjuntos especiales, el Conjunto Universal es aquella colección que tiene dentro de sí la totalidad de elementos que conforman un universo determinado. Casi siempre, el Conjunto Universal es decidido a propósito y de acuerdo a la conveniencia del individuo, para ser usado como referencia, de ahí que a este tipo de conjunto también se le conozca como Conjunto de referencia. Un ejemplo del uso de este tipo de colección puede ser el Conjunto complementario (conjunto que contiene todos los elementos que no están en un conjunto dado, tomando en cuenta el Conjunto Universal) el cual es calculado a través de una operación de Diferencia entre el Conjunto Universal y el Conjunto complementario.

Conjuntos disjuntos

Otra de las colecciones considerada por las Matemáticas tanto dentro de los Tipos de Conjuntos como los Conjuntos especiales son los Conjuntos disjuntos, entendidos como aquellas colecciones entre las cuales no puede ser encontrado un solo elemento en común. Por lo general, la forma matemática de determinar si en efecto dos o más colecciones son disjuntas es a través de una operación de Intersección (operación dirigida a formar una tercera colección conformada por todos aquellos elementos comunes) la cual debe dar siempre como resultado al Conjunto vació: A∩B= ∅.

Conjuntos equivalentes

Considerados igualmente Conjuntos especiales, este tipo de conjuntos son definidos como aquellas colecciones que coinciden entre sí en cuanto a su Cardinalidad, es decir, que cuentan entre ellos con la misma cantidad de elementos, más allá de que estos no cuenten con la misma identidad. Un ejemplo de este tipo de conjunto lo puede constituir el siguiente:

Dado los conjuntos A= {1, 2, 3, 4, 5} y B= {a, b, c, d, e} determinar si pueden ser considerados conjuntos equivalentes:

Para esto, será necesario entonces determinar la Cardinalidad de cada uno de los conjuntos, teniendo claro que si ésta coincide, se puede entender a ambas colecciones como conjuntos equivalentes:

A= {1, 2, 3, 4, 5}
│A│= 5

B= {a, b, c, d, e}
│B│= 5

Al hacerlo, se confirma efectivamente que ambos conjuntos poseen cardinalidades iguales, por lo que entonces pasan a considerarse como Conjuntos equivalentes.

Conjuntos iguales

Por otro lado, entre los distintos tipos de conjuntos que existen, se encuentran también los Conjuntos iguales, definidos a su vez como aquellos tipos de conjuntos que coinciden de forma plena tanto en su Cardinalidad –es decir, en el número de elementos que poseen- como en cuanto a la identidad de los elementos que posee, más allá del orden en el que estos se presenten. Un ejemplo de este tipo de conjuntos lo constituyen las siguientes colecciones: A= {a, e, i, o, u} y B= {u, o, e, i, a} en las cuales se observa que a pesar de no ser presentadas en el mismo orden, sí cuentan con iguales elementos.

Conjuntos congruentes

Por su parte, los Conjuntos congruentes son definidos como aquellas colecciones que coinciden de forma plena, en cuando a la distancia numérica en la que se encuentren sus respectivos elementos, aun cuando estos no coincidan en cuanto a su identidad. Como es de suponerse, este tipo de conjunto siempre será de tipo numérico. Un ejemplo de Conjuntos congruentes pueden ser los siguientes: A= {2, 4, 6, 8} y B= {9, 11, 13, 15} pues a pesar de tener elementos de distintas identidades, e incluso unos siendo números pares y los otros impares, son considerados Conjuntos Congruentes puesto que entre cada uno de estos elementos existen dos número de distancia.

Conjuntos no congruentes

En contravía, los Conjuntos no congruentes será aquellos entre los que no se puede encontrar igualdad, respecto a la distancia que existen entre cada uno de sus miembros, es decir, que no existen congruencia entre sus respectivos elementos. Un ejemplo de este tipo de conjunto serían las colecciones A= {2, 4, 6, 8} y B= {10, 14, 18, 22} en donde aun coincidiendo en cuanto a su cardinalidad, es decir, siendo equivalentes, son considerados no congruentes, puesto que mientras a los elementos del conjunto A los separa una distancia de dos elementos, entre los del conjunto B se establece una distancia de 4 elementos.

Conjuntos homogéneos

En cuanto a los conjuntos considerados como Homogéneos, las Matemáticas han optado por definirlos como aquellas colecciones en donde se pueden contar con elementos, que además de un rasgo en común, pertenecen al mismo tipo o género. Ejemplos de este tipo de colecciones son las siguientes: A= {2, 4, 6, 8, 10}; B= {Manzana, Níspero, Guayaba, Naranja} o C= {a, b, c, d, e, f}.

Conjuntos heterogéneos

Finalmente, entre los distintos Tipos de conjuntos considerados por la Teoría de Conjuntos se encuentran los Conjuntos heterogéneos, los cuales son definidos como aquellas colecciones conformadas por elementos que no pueden ser considerados del mismo género o clase, aun cuando respondan a una misma naturaleza. Un ejemplo de este tipo de conjunto podría ser el siguiente: suponiendo una librería, se tendrá que la totalidad de libros constituirá un Conjuntos homogéneo, mientras que si se tomara como criterio de agrupación el contenido de cada uno de estos libros, se tendría entonces un Conjunto Heterogéneo, puesto que a pesar de que todos los objetos son libros, corresponden a géneros diferentes.

Imagen: pixabay.com

Tipos de conjuntos
agosto 16, 2017
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