Tipos de ecuaciones de segundo grado

Definiciones fundamentales

En este orden de ideas, será también necesario delimitar esta revisión teórica a cuatro nociones específicas: Término algebraico, Igualdades, Ecuaciones y Ecuaciones de segundo grado, por encontrarse directamente relacionados con los distintos tipos de igualdades literales que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada uno de estos conceptos:

Término algebraico

De esta manera, se comenzará por decir que el Término algebraico ha sido explicado por las distintas fuentes como una expresión matemática, conformada por un elemento abstracto numérico y un elemento abstracto literal, entre los que ocurre una multiplicación, siendo esta la única operación que puede existir entre estos componentes, es decir, que entre el número y el literal del término algebraico es imposible que ocurran operaciones de suma, resta o división. Un ejemplo de este tipo de expresiones serán las siguientes:

-3abc³

Por igual, la disciplina matemática ha indicado que el Término algebraico se conoce por estar conformado por cuatro distintos elementos, cada uno de los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Signo: en primer lugar, si se establece entonces una lectura que vaya de izquierda a derecha, se tendrá que el signo es el primer elemento que puede leerse en el término algebraico. De igual forma, los diferentes autores han indicado que la tarea de este elemento es señalar cuál es la naturaleza del término algebraico, es decir, si el término es positivo o negativo. Por convención, cuando la expresión es positiva, no se anotará frente a ella el signo más (+) dándose por sobreentendido. Por el contrario, si el término algebraico es negativo, entonces sí será obligatorio anotar el signo menos (-) al principio de la expresión.
• Coeficiente: el segundo elemento, en esta lectura de izquierda a derecha, será el Coeficiente, el cual se encontrará conformado por un número, cuya tarea será indicar cuál es la cantidad precisa por la que debe multiplicarse el literal, una vez que asuma un valor específico.
• Literal: así mismo, en el Término algebraico también existirá el Literal, constituido por un elemento abstracto literal, cuya tarea es asumir diferentes valores, en momentos determinados. Tradicionalmente, se emplean para los literales del término algebraico las letras a, b y c. No obstante, en caso de que estos valores sean incógnitos, entonces las Matemáticas prefieren emplear entonces las letras x, y o z.
• Grado: finalmente en el Término algebraico también se encuentra el Grado, constituido por el valor del exponente al que se encuentra elevado el literal.

Igualdades

En segunda instancia, también será necesario tener en cuenta el concepto de Igualdades, las cuales han sido explicadas como aquellas relaciones matemáticas, que se establecen entre dos o más elementos, que resultan de igual valor. Además, la disciplina matemática, ha señalado que el signo que cumple con la tarea de expresar este tipo de relación es el signo igual (=).

Por otro lado, los diferentes autores señalan que en las igualdades podrán contarse dos distintos elementos, los cuales han sido explicados de la siguiente forma:

• Primer término: este término de la igualdad se caracterizará por estar ubicado de forma anterior al signo de igualdad (=).
• Segundo término: por su parte, el segundo término de la igualdad será el que se ubique después del signo que sirve para expresar esta relación.

Igualmente, las Matemáticas han señalado que existen dos diferentes grupos de igualdades, las cuales han sido definidas tal como se ve a continuación:

• Igualdades numerales: cuando los elementos entre los que ocurre la relación de igualdad están conformados completamente por números.
• Igualdades literales: cuando en los elementos entre los que se establece la relación de igualdad, además de números, pueden encontrarse también letras, o elementos literales.

Ecuaciones

Así mismo, se tomará un momento para revisar el concepto de Ecuaciones, las cuales han sido explicadas de forma general, por las distintas fuentes matemáticas, como la igualdad literal, en donde ocurre necesariamente que el elemento literal puede asumir tan solo un valor, que es el que le permite a la igualdad original cumplirse. Un ejemplo de este tipo de igualdades literales será la siguiente:

x + 5 = 10

Frente a esta expresión, se puede optar por hacer que la x asuma distintos valores, para corroborar si ciertamente la igualdad sólo puede cumplirse con uno en específico:

3 + 5 = 10 → 8 ≠ 10
2 + 5 = 10 → 7 ≠ 10
5 + 5 = 10 → 10 = 10
6 + 3 = 10 → 9 ≠ 10

Cumpliendo con este ejercicio se determina que ciertamente la igualdad planteada sólo es posible cuando el valor de x es igual a 5. Por ende, al solo poder asumir un valor el literal, esta igualdad puede ser considerada entonces como una Ecuación. En caso, de que se cumpliera la igualdad con cualquier valor, la expresión podría ser considerada entonces como una Identidad.

Ecuaciones de segundo grado

Por último, también se revisará el concepto de Ecuaciones de segundo grado, las cuales serán explicadas como aquellas igualdades literales, en donde, más allá de que el elemento literal constituye una incógnita que sólo corresponde a un valor determinado, esta se encuentra elevada al cuadrado. A continuación, un ejemplo de cómo debe constituirse cualquier ecuación de segundo grado que haya pasado por el proceso de simplificación:

ax² + bx + c = 0

Así mismo, las Matemáticas han señalado que en las Ecuaciones de segundo grado se pueden encontrar distintos componentes, los cuales han sido descritos de la siguiente forma:

• Elementos: en esta categoría se podrán encontrar dos distintos tipos de elementos, el primero de ellos constituido por los componentes a, b y c, los cuales referirán a los coeficientes de los términos de la ecuación, encontrándose conformados por números. Así mismo, dentro de los elementos que conforman la ecuación, se encontrará la incógnita, constituida por el literal x, y cuya tarea es asumir un valor específico, el cual permite que se cumpla entonces la igualdad planteada.
• Términos: por igual, dentro de la ecuación de segundo grado, las Matemáticas han distinguido también tres diferentes términos: el primero de ellos, constituido por ax² y conocido como el término cuadrático, su misión es darle el grado a la ecuación; en segundo lugar, las Matemáticas distinguirán el término bx, conocido por su lado como Término lineal; por último, en toda Ecuación de segundo grado existirá el término c, denominado como término independiente, el cual se distingue por ser un número, que no se encuentra ligado a ningún literal.

Tipos de Ecuaciones de segundo grado

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre los distintos tipos de Ecuaciones de segundo grado, que han sido clasificadas por las Matemáticas, y cuya diferencia principal será si el término lineal o el independiente son o no son diferentes a cero. A continuación, una breve explicación de cada una de estas clases de ecuaciones:

Ecuaciones de segundo grado completas

En primera instancia se encontrarán las Ecuaciones de segundo grado completas. De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, para que una ecuación sea entendida como de Segundo grado debe contar con un término cuadrático ax², en donde el coeficiente a sea distinto a 0, y el literal x se encuentre elevado al cuadrado. No obstante, además de esto, en las Ecuaciones de segundo grado completas, en el término lineal bx y en el término independiente c, los elementos numéricos son diferentes a cero, por lo que entonces se obtiene una Ecuación de segundo grado completa, correspondiente a la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Así mismo, se encontrarán las Ecuaciones de segundo grado incompletas, las cuales serán explicadas como aquellas igualdades literales, en donde el término cuadrático ax², se caracteriza por contar con un coeficiente diferente a cero, pero los otros dos términos no, pudiendo  entonces darse los siguientes casos de ecuaciones de segundo caso incompletas:

ax² + bx = 0 → esta ecuación de segundo grado incompleta es el resultado de contar con un término independiente c igual a cero, por lo tanto no implica ningún valor o alteración en la relación de igualdad, por lo que entonces tan sólo se anota el término cuadrático y el término lineal de la expresión.

ax² + c = 0 → en segundo lugar, también puede ocurrir que en la Ecuación de segundo grado incompleta sea el coeficiente del elemento lineal bx el que sea igual a cero. En este caso, al tener un valor igual a 0, y multiplicarse por el valor que asuma la incógnita, se convertirá en un término nulo, pues su valor será igual a 0, por lo que entonces no se anota, dando origen a la forma que presenta este tipo de ecuación de segundo grado incompleta.

ax² = 0 → por último, también puede ocurrir que en una Ecuación de segundo grado incompleta, tanto el término lineal bx, como el término independiente c, cuenten con coeficientes o elementos numéricos iguales a cero. En el caso del término lineal bx, ocurrirá que siendo el coeficiente igual a 0, y multiplicarse por la x, entonces se anula el término, pues el resultado de este producto será igual a cero. Por su parte, si el término independiente c es igual a cero, también se considera como nulo, pues no tiene ningún valor. Por ende, este tipo de Ecuación de segundo grado incompleta sólo contará con la presencia del término cuadrático, en donde la a es diferente a cero.

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