Tipos de polinomios

Definición de Polinomio

En este sentido, el polinomio puede ser definido como la expresión algebraica compuesta por la suma finita (aun cuando también pueden admitirse operaciones de resta y multiplicación, y jamás de división) de monomios, o términos algebraicos en donde los exponentes de sus respectivos literales o variables están conformados por números enteros positivos.

Así mismo, la teoría de la matemática afirma que los polinomios están compuestos principalmente por monomios, así como por cuatro elementos fundamentales, cada uno de los cuales cuenta con su propia definición y función dentro del polinomio, tal como puede verse en la gráfica y los breves conceptos expuestos a continuación:

• Términos: cada uno de los sumandos por los que están conformados los polinomios.
• Términos independientes: nombre con el que se signan cada uno de los elementos numéricos que no se encuentran acompañados de ninguna variable.
• Coeficientes: así mismo, los coeficientes serán aquellos elementos numéricos que se encuentren acompañando a una variable, a fin de señalar cuál es la cantidad por la cual este elemento debe ser multiplicado.
• Grado: finalmente, el grado del polinomio será equivalente al máximo grado que pueda encontrarse en los monomios que conforman el polinomio. Su función es servir de elemento guía para algunas importantes operaciones algebraicas, como por ejemplo el orden del polinomio.

Tipos de polinomios

Así mismo, son estos elementos y sus diferentes situaciones las que también dan origen a los diferentes tipos de polinomios concebidos por el Álgebra, los cuales pueden a su vez ser definidos de la siguiente forma:

Polinomio nulo

Conocido también como polinomio cero, es aquel polinomio en donde todos los coeficientes de los términos son equivalentes a cero. Así mismo, se asume que el grado de este polinomio es también cero. No obstante, si además de una sucesión de términos con coeficientes iguales a cero, el polinomio cuenta con presencia de un término independiente diferente a cero, el polinomio ya no podrá ser llamado nulo, aun cuando su grado siga siendo cero. Un ejemplo, de polinomio nulo puede ser el siguiente:

P_(x)= 0x³ + 0x + 0 + x²

Polinomio homogéneo

Por su parte, el polinomio homogéneo se define en base a los grados de los distintos términos, considerándose homogéneo si todos cuentan entonces con un mismo grado, tanto si se trata de una sola variable, como de la suma de los exponentes de dos o más variables. En este sentido, se pueden considerar varios ejemplos:

Ejemplo 1: Si se tiene un polinomio como el siguiente:

P_(x)= x² + 3x² + 4y²

Fácilmente se puede concluir que es un polinomio homogéneo, pues una rápida revisión servirá para identificar los grados de cada uno de los términos cuentan con igual grado.

Ejemplo 2: En cambio, si se tiene un polinomio de la siguiente forma:

P_(x)= 3x³ + 3x²y + 4y³

Se debe hacer una sencilla operación en donde simplemente se sumarán primero los exponentes de las distintas variables, con lo que se determinará el grado de cada término. En este caso se tiene que todos los grados son equivalentes a tres, puesto que al sumar los exponentes de las dos variables del segundo término (2+1=3). En consecuencia, se trata de un polinomio homogéneo.

Polinomio heterogéneo

Por el contrario, se habla de polinomio heterogéneo, cuando el polinomio presentado cuenta con términos de grados diferentes entre sí, y aunque pueda suceder que dos o más coincidan en el grado de su término, si hay uno solo diferente, entonces se hablará de polinomio heterogéneo, tal como el ejemplo que se muestra a continuación:

P_(x)= -8x² + 3xy³ + 4x⁴ + 5

Polinomio completo

También puede suceder que al revisar los grados de cada uno de los términos, además de encontrar que son diferentes entre sí, es decir, que se trata de un polinomio heterogéneo, se descubra igualmente que el polinomio cuenta con una secuencia completa de grados, desde el mayor hasta el término independiente, o viceversa, dependiendo del orden ascendente o descendente que pueda dársele. Un ejemplo de este puede ser el polinomio que se muestra a continuación:

P_(x) = 8x³ – 4x⁴ + 2x + 5x² -5

El cual, deberá en principio ordenarse, por ejemplo de forma descendente, es decir, desde el mayor grado detectado hasta el término independiente:

P_(x) = – 4x⁴ + 8x³+ 5x² + 2x – 5

Al hacerlo, se puede determinar que el polinomio es de grado cuatro, pudiendo observarse que los grados de sus términos son respectivamente 4,3,2 y 1, más el término independiente, por lo que se concluye que se trata de un polinomio completo.

Polinomio incompleto

Sin embargo, puede suceder también que un polinomio cuente con términos cuyos grados no se encuentren de forma continua, es decir, que no sean números continuos. Por ejemplo, dado el siguiente polinomio:

P_(x)= 7x³ + x⁵ – 2

Se procederá a ordenarlo, de forma ascendente, por ejemplo:

P_(x)= x⁵+ 7x³  – 2

Hecho esto, se puede observar que los grados de cada uno de los términos del polinomio no presentan una secuencia continua, por lo que se considera un polinomio incompleto.

Polinomio ordenado

Siendo más el resultado de una disposición de los términos que una cualidad propia de los elementos de sus monomios, se puede hablar de un polinomio ordenado cuando los distintos términos algebraicos que lo conforman han sido colocados en orden –bien sea ascendente o descendente- siguiendo para esto el grado de sus términos. Un ejemplo de polinomios ordenados pueden darse en función del siguiente ejemplo:

P_(x)= -9x+ 5x² + x³ + 4x⁴ – 6

Se detecta en primer lugar que los términos no se encuentran dispuestos según su orden, es decir, según sus grados, ni de mayor a menor, ni viceversa. En tal sentido, identificados cada uno de sus grados, se procederá a disponerlos en el sentido en que se desee, tal como se muestra a continuación:

P_(x)= -9x + 5x² + x³ + 4x⁴ – 6

orden descendente: P_(x)= 4x⁴ + x³ + 5x² – 9x – 6
orden ascendente:  P_(x)= – 9x  + 5x² + x³ + 4x⁴– 6

Polinomios iguales

También, dentro de los distintos tipos de polinomios se puede dar el caso de que dos polinomios coincidan tanto en el grado como en cada uno de los coeficientes y literales de sus términos, en cuyo caso se hablará de polinomios iguales, tal como se muestra a continuación:

Dados los siguientes polinomios:

P_(x) = 3x² – x + 4
Q_(x) = 4 + 3x²– x

Se procederá a ordenarlos, en forma descendente, a fin de tener mucho más claros los grados de cada uno de los términos:

P_(x) = – x + 3x² + 4
Q_(x) =  – x + 3x² + 4

Al hacerlo, se podrá observar cómo cada uno de los polinomios coinciden en cada uno de sus elementos literales, en sus coeficientes y grados, por lo que se puede concluir que se trata de polinomios iguales.

Polinomios semejantes

Sin embargo, puede ocurrir también que aun cuando dos polinomios no presenten total coincidencia entre cada elemento de sus términos, sí pueda existir un grado de semejanza. En este caso, el Álgebra elemental considera que dos polinomios son semejantes cuando, a pesar de las diferencias que pueden existir entre sus coeficientes y términos independientes, sus literales o variables coinciden perfectamente, tanto en sus variables, como en sus grados, tal como se muestra en el ejemplo que se muestra a continuación:

Dados los siguientes polinomios:

P_(x) = -8x + 4x² + 6
Q_(x) =  3x² – 5x  + 4

Se debe proceder a ordenar cada uno de ellos, escogiendo para esto la forma descendente:

P_(x) = 4x² -8x + 6
Q_(x) =  3x² – 5x  + 4

Al hacerlo, se podrá ver cómo aunque los coeficientes y los términos independientes son distintos en cada polinomio propuesto, las variables, coinciden tanto en su literal como en los grados de estas. Por ende se puede concluir que se trata de dos polinomios semejantes.

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